ibland skrivs dom som (x, y, z) och ibland som x*î + y*ĵ + z*k̂
Här kan vi anta att båda notationerna är ekvivalenta,
två sätt att skriva samma sak, inte så konstigt.
Det som däremot är konstigt är att vi inte kan multiplicera vektorer...
Skalärer? såklart
imaginära tal? visst
matriser? kör hårt
vektorer? nja inte riktigt...
Big Math har pushat propaganda om att skalär- och kryssprodukten är lösningen på problemet.
Men skalärprodukten ger oss bara en skalär och kryssprodukten är bara definierad i 3D.
Ibland måste man göra saker svårare för att det ska bli lättare
Med distributiva lagen som verktyg kan vi väl testa att multiplicera två vektorer?
Om vi säger at îî = ĵĵ = 1 och îĵ = ĵî = 0 blir resultatet: x₁x₂+y₁y₂ vilket är skalärprodukten.
Men vi kan lika gärna säga att îî = ĵĵ = 0 och îĵ = -ĵî = 1 (antikommutativ) vilket ger oss: x₁y₂-x₂y₁
vilket är z-komponenten av kryssprodukten aka pseudokryssprodukten i 2D.
Så reglerna för basvektorerna ändras baserat på räkneoperatorn?
ta ∇ · (∇⨯A) = 0 som exempel. I samma ekvation har använder vi olika regler för basvektorerna.
Detta är ologiskt. Om vi istället behåller basvektorerna men med den antikommutativa regeln:
(x₁*î + y₁*ĵ)(x₂*î + y₂*ĵ) = x₁x₂îî + y₁y₂ĵĵ + (x₁y₂ - y₁x₂)îĵ
(x₂*î + y₂*ĵ)(x₁*î + y₁*ĵ) = x₁x₂îî + y₁y₂ĵĵ - (x₁y₂ - y₁x₂)îĵ
Här ser vi att produkten av två vektorer består av en kommutativ del (skalärprodukten) så vi definierar îî = ĵĵ = 1
och en antikommutativ del (pseudokryssprodukten) îĵ = -ĵî
Då skalärprodukten är definierad i ℝⁿ kan vi behålla den notationen. Men vi kallar den för innre-produkten.
kryssprodukten är däremot bara definierad i ℝ³ så vi kallar denna antikommutativa del för yttre-produkt och noterar denna med "∧"
Då har vi alltså: V₁V₂ = V₁ · V₂ + V₁ ∧ V₂
vilket ger oss en skalär adderad med en îĵ-komponent
Vi har även: V₂V₁ = V₂ · V₁ + V₂ ∧ V₁ = V₁ · V₂ + V₁ ∧ V₂
Vilket leder till: V₁ · V₂ = ½(V₁V₂ + V₂V₁)
Samt: V₁ ∧ V₂ = ½(V₁V₂ - V₂V₁)
Produkten av två reella tal är också ett reellt tal, på samma sätt är produkten av två imaginära tal även ett imaginärt tal.
Därför säger vi nu att produkten av två vektorer är en vektor.
Men för att inte blanda ihop våra nya bättre vektorer med dom gamla tråkiga kallar vi dessa för multivektorer, ok?
Vi kallar produkten av multivektorer för den geometriska produkten
Alltså kan vi säga att V = a + b*î + c*ĵ + d*îĵ där a, b, c, d ∈ ℝ
Men vad fan är en îĵ-komponent?
îĵ kallas en bivektor och kan ses som en orienterad (pga. antikommutativ) area. Orienteringen följer högerhandsregeln likt kryssprodukten.
Här i 2D kallas îĵ även för pseudoskalären, i 3D blir îĵk̂ pseudoskalären.
En ny notation vi kan införa är î = e₁, ĵ = e₂ vilket ger îĵ = e₁e₂ = e₁₂
Nu kan vi se att en bas e₁₂₁ = e₁e₂e₁ = -e₁e₁e₂ (antikommutativ) = -e₂ (eₙeₙ = 1)
Så vad händer om vi kvadrerar e₁? e₁ * e₁ = e₁₁ = 1. Inget konstigt här, samma gäller för e₂.
Skalären då? a*a = a², fortfarande en skalär, vad annars?
MEN! Kolla vad som händer om vi kvadrerar e₁₂ : e₁₂*e₁₂ = e₁e₂e₁e₂ = -e₂e₁e₁e₂ = -e₂e₂ = -1
Vi får alltså -1. Fattar du vad det innebär? (e₁₂)² = -1 => e₁₂ = √-1
Om vi tar en multivektor V₁ = a₁ + 0*e₁ + 0*e₂ + b₁*e₁₂
och en till multivektor V₂ = a₂ + 0*e₁ + 0*e₂ + b₂*e₁₂ och multiplicerar dessa:
V₁V₂ = (a₁ + b₁*e₁₂)(a₂ + b₂*e₁₂) = a₁a₂ - b₁b₂ + (a₁b₂ + b₁a₂)e₁₂
Om vi här byter ut e₁₂ mot 𝑖 får vi formeln för multiplikation av komplexa tal.
En multivektor i 2D består alltså av en vanlig vektor och ett imaginärt tal.
Men kan vi utnyttja detta?
Högst upp på sidan kan du testa att rita multivektorer,
jag har inte kommit på något bra sätt att rita den skalära delen utan att använda en extra dimension.
När du har lekt klart kan du byta till sidan "Rotationer" med knappen högst upp för att fortsätta.
Så vi har vektorer tillsammans med komplexa tal, vad gör vi med det?
Om vi har ett komplext tal z = a + b𝑖 och multiplicerar det med 𝑖 får vi:
z𝑖 = a𝑖 - b, dvs. en rotation moturs med 90°
I vårat fall har vi e₁₂ istället för 𝑖. så vad blir Ve₁₂?
För enkelhetens skull säger vi att multivektorn V bara har e₁- och e₂-komponenter.
Ve₁₂ = (a*e₁ + b*e₂)*e₁₂ = a*e₂ - b*e₁
Nämen! Vektorn blev ju roterad 90° moturs precis som i fallet med komplexa tal.
Men multiplikation av multivektorer är ju antikommutativ? Så vad blir e₁₂V?
e₁₂V = e₁₂*(a*e₁ + b*e₂) = -a*e₂ + b*e₁
Alltså en rotation 90° medurs!
Coolt vi kan rotera multivektorer med 90°. Men det vore ju praktiskt att kunna rotera med en valfri vinkel.
I det komplexa fallet multiplicerar vi z med exp(𝑖θ). Kan vi inte testa det fast med multivektorer?
V*exp(θ*e₁₂)
Sakta i backarna... hur beräknar vi exp(θ*e₁₂)?
Eftersom e₁₂ = √-1 borde vi ju helt enkelt kunna använda Eulers formel. (Kan enkelt härledas likt eulers formel)
exp(θ*e₁₂) = cos(θ) + sin(θ)e₁₂
Nu kan vi beräkna V*exp(θ*e₁₂)
V*exp(θ*e₁₂) = (a*e₁ + b*e₂)(cos(θ) + sin(θ)e₁₂) = a*cos(θ)*e₁ + a*sin(θ)*e₂ + b*cos(θ)*e₂ - b*sin(θ)e₁
= (a*cos(θ) - b*sin(θ))*e₁ + (a*sin(θ) + b*cos(θ))*e₂
Kolla nu när vi ställer upp detta uttryck på matrisform:
cos(θ)
-sin(θ)
sin(θ)
cos(θ)
Och där trillade rotationsmatrisen för ℝ² ut.
Precis som innan blir exp(θ*e₁₂)*V en rotation medurs istället.
Olika signaturer
Hittills har vi bara kollat på ℝ₂₀₀
ℝ betyder att vi använder reella tal, vad annars?
Sen har vi 3 tal p, q, r, vilket förklarar hur reglerna för baserna fungerar.
Vi har kollat på ℝ₂₀₀ som sagt, alltså p = 2, q = r = 0. Det dessa betyder är:
p: hur många baser som resulterar i 1 när de kvadreras, ex. e₁₁ = 1, vi har använt 2: e₁ och e₂.
q: hur många baser som kvadreras till -1
r: hur många baser som kvadreras till 0
Med hjälp av dessa kan vi definiera olika algebror t.ex:
Komplexa tal: ℝ₀₁₀
Hyperboliska tal: ℝ₁₀₀
duala tal: ℝ₀₀₁
ℝ₂₀₀: som vi kollat på
ℝ₃₀₀: 3D motsvarigheten osv.
Det underlättar att få se ett Cayley-diagram tex för ℝ₂₀₀:
1
e₁
e₂
e₁₂
e₁
1
e₁₂
e₂
e₂
-e₁₂
1
-e₁
e₁₂
-e₂
e₁
-1
Från diagrammet kan man lätt ta fram den geometriska produkten för olika algebror:
